Nøgen Statistik er den mest interessante bog om den mest kedelige videnskab

2024 Forfatter: Malcolm Clapton | [email protected]. Sidst ændret: 2023-12-17 03:51

Hvem sagde, at statistik er en kedelig og ubrugelig videnskab? Charles Wheelan argumenterer overbevisende for, at dette langt fra er tilfældet. I dag udgiver vi et uddrag fra hans bog om, hvordan man vinder en bil, ikke en ged, ved hjælp af statistik og forstår, at intuition kan vildlede dig.

Monty Hall-gåden

Monty Hall-mysteriet er et berømt problem inden for sandsynlighedsteori, der forvirrede deltagere i et spilshow kaldet Let's Make a Deal, som stadig er populært i flere lande, og som havde premiere i USA i 1963. (Jeg kan huske, hver gang jeg så dette program som barn, hvor jeg ikke gik i skole på grund af sygdom.) I introduktionen til bogen påpegede jeg allerede, at dette spilprogram kan være interessant for statistikere. I slutningen af hvert af sine numre stod deltageren, der nåede finalen, med Monty Hall foran tre store døre: dør nr. 1, dør nr. 2 og dør nr. 3. Monty Hall forklarede finalisten, at bag én af disse døre var en meget værdifuld præmie - for eksempel en ny bil og en ged bag de to andre. Finalisten skulle vælge en af dørene og få, hvad der lå bag. (Jeg ved ikke, om der var mindst én person blandt deltagerne i showet, der ville have en ged, men for nemheds skyld vil vi antage, at langt de fleste deltagere drømte om en ny bil.)

Den oprindelige sandsynlighed for at vinde er ret let at bestemme. Der er tre døre, to skjuler en ged, og den tredje skjuler en bil. Når en deltager i showet står foran disse døre med Monty Hall, har han en ud af tre chancer for at vælge den dør, som bilen er placeret bag. Men som nævnt ovenfor er der en fangst i Let's Make a Deal, der udødeliggjorde dette tv-program og dets oplægsholder i litteraturen om sandsynlighedsteori. Efter at finalisten i showet peger på en af de tre døre, åbner Monty Hall en af de to resterende døre, bag hvilken der altid er en ged. Så spørger Monty Hall finalisten, om han vil ombestemme sig, det vil sige at opgive den tidligere valgte lukkede dør til fordel for en anden lukket dør.

Lad os for eksempel sige, at deltageren pegede på dør nr. 1. Så åbnede Monty Hall dør nr. 3, bag hvilken bukken gemte sig. To døre, dør 1 og dør 2, forbliver lukkede. Hvis den værdifulde præmie var bag dør nr. 1, ville finalisten have vundet den, og hvis den var bag dør nr. 2, så ville han have tabt. Det er på dette tidspunkt, at Monty Hall spørger spilleren, om han vil ændre sit oprindelige valg (i dette tilfælde skal du opgive dør nr. 1 til fordel for dør nr. 2). Du skal selvfølgelig huske, at begge døre stadig er lukkede. Den eneste nye information, deltageren fik, var, at geden endte bag en af to døre, som han ikke valgte.

Skal finalisten opgive det oprindelige valg til fordel for dør nr. 2?

Jeg svarer: ja, det burde det. Hvis han holder sig til det oprindelige valg, så vil sandsynligheden for at vinde en værdifuld præmie være ⅓; hvis han ændrer mening og peger på dør nr. 2, så vil sandsynligheden for at vinde en værdifuld præmie være ⅔. Hvis du ikke tror mig, så læs videre.

Jeg indrømmer, at dette svar langt fra er indlysende ved første øjekast. Det ser ud til, at uanset hvilken af de resterende to døre finalisten vælger, er sandsynligheden for at modtage en værdifuld præmie i begge tilfælde ⅓. Der er tre lukkede døre. I første omgang er sandsynligheden for, at en værdifuld præmie er skjult bag nogen af dem ⅓. Gør finalistens beslutning om at ændre sit valg til fordel for en anden lukket dør nogen forskel?

Selvfølgelig, da fangsten er, at Monty Hall ved, hvad der er bag hver dør. Hvis finalisten vælger dør nr. 1, og der faktisk er en bil bag den, kan Monty Hall åbne enten dør nr. 2 eller dør nr. 3 for at afsløre geden, der lurer bag den.

Hvis finalisten vælger dør 1, og bilen er bag dør 2, åbner Monty Hall dør 3.

Hvis finalisten peger på dør 1, og bilen er bag dør 3, åbner Monty Hall dør 2.

Ved at ombestemme sig, efter at oplægsholderen har åbnet en af dørene, får finalisten fordelen ved at vælge to døre i stedet for én. Jeg vil forsøge at overbevise dig om rigtigheden af denne analyse på tre forskellige måder.

Den første er empirisk. I 2008 skrev New York Times klummeskribent John Tyerney om Monty Hall-fænomenet. Derefter udviklede personalet i publikationen et interaktivt program, der giver dig mulighed for at spille dette spil og selvstændigt beslutte, om du vil ændre dit oprindelige valg eller ej. (Programmet sørger endda for små geder og små biler, der dukker op bag dørene.) Programmet registrerer dine gevinster i tilfælde af, at du ændrer dit oprindelige valg, og i tilfælde af, at du ikke er overbevist. Jeg betalte en af mine døtre for at spille dette spil 100 gange, og ændrede hendes oprindelige valg hver gang. Jeg betalte også hendes bror for at spille spillet 100 gange, og jeg beholdt den oprindelige beslutning hver gang. Datteren vandt 72 gange; hendes bror 33 gange. Hver indsats blev belønnet med to dollars.

Beviser fra episoder af spillet Let's Make a Deal viser det samme mønster. Ifølge Leonard Mlodinov, forfatter til The Drunkard's Walk, havde de finalister, der ændrede deres oprindelige valg, omkring dobbelt så stor sandsynlighed for at vinde som dem, der ikke var overbeviste.

Min anden forklaring på dette fænomen er baseret på intuition. Lad os sige, at spillereglerne har ændret sig lidt. For eksempel starter finalisten med at vælge en af tre døre: Dør #1, Dør #2 og Dør #3, som oprindeligt planlagt. Men før du åbner nogen af dørene, bag hvilke bukken gemmer sig, spørger Monty Hall: "Er du enig i at opgive dit valg til gengæld for at åbne de to resterende døre?" Så hvis du valgte dør # 1, kan du ændre mening til fordel for dør # 2 og dør # 3. Hvis du pegede på dør # 3 først, kan du vælge dør # 1 og dør # 2. Og så videre.

Dette ville ikke være en særlig svær beslutning for dig: Det er helt indlysende, at du bør opgive det første valg til fordel for de to resterende døre, da dette øger chancerne for at vinde fra ⅓ til ⅔. Det mest interessante er, at det i bund og grund er dette, som Monty Hall tilbyder dig i et rigtigt spil, efter at have åbnet døren, bag hvilken bukken gemmer sig. Det grundlæggende faktum er, at hvis du fik muligheden for at vælge to døre, ville en ged alligevel være gemt bag en af dem. Når Monty Hall åbner døren, bag hvilken bukken er, og først derefter spørger dig, om du accepterer at ændre dit oprindelige valg, øger det dine chancer for at vinde en værdifuld præmie markant! Grundlæggende fortæller Monty Hall dig: "Chancerne for, at en værdifuld præmie gemmer sig bag en af de to døre, som du ikke valgte første gang, er ⅔, hvilket stadig er mere end ⅓!"

Du kan forestille dig det sådan her. Lad os sige, at du pegede på Dør #1. Herefter giver Monty Hall dig mulighed for at opgive den oprindelige beslutning til fordel for Dør #2 og Dør #3. Du accepterer, og du har to døre til din rådighed, hvilket betyder, at du har enhver grund forventer at vinde en værdifuld præmie med en sandsynlighed på ⅔, ikke ⅓. Hvad ville der være sket, hvis Monty Hall i dette øjeblik havde åbnet dør 3 - en af "dine" døre - og der var en ged bag den? Ville dette faktum ryste din tillid til din beslutning? Selvfølgelig ikke. Hvis bilen gemte sig bag dør 3, ville Monty Hall åbne dør 2! Han ville ikke vise dig noget.

Når spillet spilles i henhold til et knock-off-scenarie, giver Monty Hall dig virkelig et valg mellem den dør, du specificerede i begyndelsen, og de to resterende døre, hvoraf den ene kunne være en bil. Da Monty Hall åbner døren, bag hvilken bukken gemmer sig, gør han dig simpelthen en tjeneste ved at vise dig, hvilken af de to andre døre, der ikke er bilen. Du har samme sandsynlighed for at vinde i begge følgende scenarier.

1. Ved at vælge dør # 1 og derefter acceptere at "skifte" til dør # 2 og dør # 3, selv før en dør åbnes.
2. Ved at vælge dør # 1 og derefter acceptere at "skifte" til dør # 2 efter Monty Hall viser dig geden bag dør # 3 (eller ved at vælge dør # 3 efter Monty Hall viser dig geden bag dør # 2).

I begge tilfælde giver det at opgive den oprindelige beslutning dig fordelen med to døre frem for én, og du kan dermed fordoble dine vinderchancer fra ⅓ til ⅔.

Min tredje mulighed er en mere radikal version af den samme grundlæggende intuition. Lad os sige, at Monty Hall beder dig om at vælge en af 100 døre (i stedet for en af tre). Når du har gjort dette, sig ved at pege på dør #47, åbner han de 98 resterende døre, som vil afsløre gederne. Nu forbliver kun to døre lukkede: din dør nr. 47 og en anden, for eksempel dør nr. 61. Skal du opgive dit første valg?

Selvfølgelig ja! Der er 99 procents chance for, at bilen står bag en af de døre, som du ikke valgte i første omgang. Monty Hall gjorde dig høflighed ved at åbne 98 af disse døre, der var ingen bil bag dem. Der er således kun 1 ud af 100 chance for, at dit første valg (Dør #47) vil være korrekt. Samtidig er der en chance på 99 ud af 100 for, at dit første valg var forkert. Hvis ja, så er bilen placeret bag den resterende dør, altså dør nr. 61. Hvis du vil spille med sandsynligheden for at vinde 99 gange ud af 100, så skal du "skifte" til dør nr. 61.

Kort sagt, hvis du nogensinde skal spille Let's Make a Deal, bliver du helt sikkert nødt til at vende tilbage til din oprindelige beslutning, når Monty Hall (eller hvem der nu skal erstatte ham) giver dig et valg. En mere universel konklusion fra dette eksempel er, at dine intuitive gæt om sandsynligheden for visse begivenheder nogle gange kan vildlede dig.