Middelaldermatematikeren Leonardo Fibonaccis problem om kaniner

2024 Forfatter: Malcolm Clapton | [email protected]. Sidst ændret: 2023-12-17 03:51

Beregn hvilket afkom et par dyr vil give i begyndelsen af næste år.

Leonardo Fibonacci var en fremragende middelaldermatematiker. Det menes, at det var ham, der introducerede arabiske tal i brug. I The Book of the Abacus, et værk, der forklarer og fremmer decimalregning, giver Fibonacci sit berømte problem om kaniner. Prøv at løse det.

I begyndelsen af januar blev et par nyfødte kaniner (han og hun) placeret i en sti, indhegnet på alle sider. Hvor mange par kaniner vil de producere i begyndelsen af næste år? Det er nødvendigt at tage hensyn til følgende forhold:

• Kaniner når seksuel modenhed to måneder efter fødslen, det vil sige i begyndelsen af den tredje måned af livet.
• I begyndelsen af hver måned føder hvert kønsmodent par kun ét par.
• Dyr fødes altid i par "en hun + en han".
• Kaniner er udødelige, rovdyr kan ikke spise dem.

Lad os se, hvordan antallet af kaniner vokser i de første seks måneder:

Måned 1. Et par unge kaniner.

Måned 2. Der er stadig ét originalt par. Kaniner har endnu ikke nået den fødedygtige alder.

Måned 3. To par: det originale, efter at have nået den fødedygtige alder + et par unge kaniner, som hun fødte.

Måned 4. Tre par: et originalt par + et par kaniner, som hun fødte i begyndelsen af måneden + et par kaniner, der er født i den tredje måned, men som endnu ikke er nået puberteten.

Måned 5. Fem par: et oprindeligt par + et par født i den tredje måned og nået den fødedygtige alder + to nye par, som de fødte + et par, der er født i den fjerde måned, men som endnu ikke er blevet moden.

Måned 6. Otte par: fem par fra sidste måned + tre nyfødte par. Etc.

For at gøre det klarere, lad os skrive de modtagne data ind i tabellen:

Hvis du omhyggeligt undersøger tabellen, kan du identificere følgende mønster. Hver gang er antallet af kaniner til stede i den n. måned lig med antallet af kaniner i (n - 1) foregående måned, opsummeret med antallet af nyfødte kaniner. Deres antal er til gengæld lig med det samlede antal dyr pr. (n - 2) måned (hvilket var for to måneder siden). Herfra kan du udlede formlen:

F = F_{n - 1}+ F_{n - 2}, hvor F - det samlede antal kaninpar i den n-te måned, F_{n - 1} er det samlede antal kaninpar i den foregående måned, og F_{n - 2} - det samlede antal kaninpar for to måneder siden.

Lad os tælle antallet af dyr i de følgende måneder ved at bruge det:

Måned 7. 8 + 5 = 13.

Måned 8. 13 + 8 = 21.

Måned 9. 21 + 13 = 34.

Måned 10. 34 +21 = 55.

Måned 11. 55 + 34 = 89.

Måned 12. 89 + 55 = 144.

Måned 13 (begyndelsen af næste år). 144 + 89 = 233.

I begyndelsen af den 13. måned, altså i slutningen af året, vil vi have 233 par kaniner. Heraf vil 144 være voksne og 89 unge. Den resulterende sekvens 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 kaldes Fibonacci-tal. I den er hvert nyt endeligt tal lig med summen af de to foregående.

Vis svar Skjul svar